Примеры решения интегралов в контрольных и курсовых работах

Вычислить площадь фигуры , ограниченной прямыми х=0, х=2 и кривыми у=2х , у=2х–х2 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами х = –2у2, х=1–3у2 

Найти площадь фигуры, заключенной между параболой х2=4у и локоном Аньези : .

Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти внутри круга и ограниченной параболами  и    

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями   и осью Ох.

Найти площадь сегмента, отсекаемого от кривой  хордой .

Найти площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой   и прямой . Пределы и непрерывность функции Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

Вычислить площадь петли кривой .

Найти площадь между параболой , касательной к ней в точке М(2,–5) и осью ординат.

  Найти площади фигур, ограниченных окружностью  и параболой  

  Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ).

 Вычислить интеграл

  Вычислить интеграл

  Вычислить интеграл

  Найти интеграл    

В данной секции мы  рассмотрим вычисление интегралов вида , где R - рациональная функция x и квадратного корня . Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:

  Вычислить интеграл .

 Вычислить интеграл .

  Вычислить интеграл .

 Найти интеграл .

  Найти интеграл .

  Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

  1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
  2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
  3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;
  4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

  Вычислить интеграл .  .  .  .

В данном разделе мы рассмотрим 8   специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

  Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

 Найти интеграл .  .  .

  Повторные интегралы Области интегрирования I и II типа Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа.

  Найти повторный интеграл .

  Вычислить .

  Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  Криволинейные интегралы первого рода

  Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2)

  Вычислить интеграл , где C − кривая, заданная уравнением .

 Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

Найти криволинейный интеграл , где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом

  Криволинейные интегралы второго рода

  Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

 Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1)

  Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой в интервале

  Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга эллипса (рисунок 6), заданного параметрически в виде .

  Теорема Остроградского-Гаусса

Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить  поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, образованного цилиндром и плоскостями z = −1, z = 1

  Используя формулу Остроградского-Гаусса, оценить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, ограниченного и плоскостью z = 1.

Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля  , где S − поверхность параллелепипеда, образованного плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z = 3

  Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

 Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования: 1) AB − отрезок прямой от точки A (0,0) до точки B (1,1); 2) AB − участок параболы от A (0,0) до B (1,1).

  Показать, что криволинейный интеграл , где точки A, B имеют координаты A (1,2), B (4,5), не зависит от пути интегрирования, и найти значение этого интеграла.

  Определить, является ли векторное поле потенциальным?

  Определить, является ли потенциальным векторное поле ?

  Физические приложения двойных интегралов

Определить  координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и .

  Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми и имеющего плотность .

  Физические приложения криволинейных интегралов

С помощью криволинейных интегралов вычисляются

  Работа поля

  Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .

 Определить массу проволоки, имеющей форму дуги окружности от точки A(1,0) до B(0,1) с плотностью

 Найти центр масс проволоки, имеющей форму кардиоиды

 Вычислить момент инерции Ix проволоки в форме окружности x2 + y2 = a2 с плотностью ρ = 1.

Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v0.   Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Вычислить   индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии r от оси бесконечно длинного проводника с током I.