Вычисление площадей фигур. Физические приложения интегралов

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы
  Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом  

  Найти площадь астроиды

  Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды  и осью

Вычислить площадь фигуры,  ограниченной кривой .

  Найти площадь петли кривой:  ; 

  Вычислить площадь, содержащуюся внутри кардиоиды  ;  

Площадь в полярных координатах

Найти площадь фигуры,   лежащей в первой четверти и ограниченной параболой  и прямыми  и 

  Найти площадь фигуры, лежащей вне круга   и ограниченной кривой  Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами

  Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями   и

Найти площадь фигуры,  вырезаемой окружностью   из кардиоиды 

 Найти площадь петли декартова  листа

  Физические приложения поверхностных интегралов

  Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением

Найти  массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где

Найти  массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность .

 Найти центр масс части сферической оболочки , расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ0.

 Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ0 относительно оси Oz.

  Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

  Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.

  Физические приложения тройных интегралов

  Найти центроид однородного полушара радиусом R.

  Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба с плотностью ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z

  Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

  С какой силой притягивает однородный шар массы M материальную точку массы m, расположенную на расстоянии a от центра шара (a > R)?

 Пусть планета имеет радиус R, а ее плотность выражается зависимостью

Теорема Стокса

  Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

Используя теорему Стокса, найти  криволинейный интеграл .

  Вычислить криволинейный интеграл , используя теорему Стокса.

  Найти интеграл с использованием теоремы Стокса

  Поверхностные интегралы первого рода

  Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте

Вычислить интеграл , где S представляет собой   полную поверхность конуса .

 Вычислить интеграл , где S − часть конуса внутри поверхности .

 Найти интеграл , где поверхность S − часть сферы , лежащая в первом октанте.

  Вычислить интеграл . Поверхность S задана параметрически в виде.

  Поверхностные интегралы второго рода

Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z(x,y), где z(x,y) − дифференцируемая функция в области D(x,y), то поверхностный интеграл второго рода   от векторного поля по поверхности S записывается в одной из следующих форм

  Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

  Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной.

  Оценить поток векторного поля через внутреннюю сторону единичной сферы .

 Вычислить интеграл , где S − часть внутренней поверхности эллипсоида, заданного параметрически в виде .

  Найти интеграл , где S − внутренняя поверхность сферы .

  Тройные интегралы в декартовых координатах

  Вычислить интеграл

 Вычислить тройной интеграл где область U ограничена поверхностями

  Выразить тройной интеграл через повторные интегралы шестью различными способами.

Тройные интегралы  в цилиндрических координатах

  Вычислить интеграл где область U ограничена поверхностью x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1

  Вычислить интеграл где область U ограничена поверхностями x2 + y2 = 3z, z = 3

  Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла

 Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты:

 Найти интеграл где область U ограничена плоскостями z = x + 1, z = 0 и цилиндрическими поверхностями x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4

  Тройные интегралы в сферических координатах

  Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.

  Вычислить интеграл xyzdxdydz, где область U представляет собой часть шара x2 + y2 + z2R2, расположенную в первом октанте x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

  Найти тройной интеграл где область U ограничена эллипсоидом

 Вычислить интеграл используя сферические координаты