Решение задания 3.
Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида
.(9)
Инвариантом
уравнения (9) называют алгебраическое выражение
, составленное из коэффициентов при старших членах уравнения (9)
, которое не изменяется при любом преобразовании координат.
С помощью инварианта
определяют принадлежность кривой к определенному типу : 1) если
, то уравнение определяет кривую эллиптического типа ; 2) если
, то гиперболического типа ; 3) если
, то параболического типа.
Так как в уравнении (9)
, то оси симметрии кривой не параллельны осям координат
. Повернем оси координат так, чтобы они стали параллельны осям симметрии кривой, для этого воспользуемся формулами поворота осей координат (3) :
,
. Подставим выражения для
в уравнение (9), имеем
.
Раскроем скобки и приведем подобные члены, в новых координатах
получаем уравнение
,(10)
где
,
,
,
,
.
Выберем угол
так, чтобы в новой системе координат оси симметрии были параллельны осям координат
, т.е. положим
, или
.
Так как
, поэтому
. После поворота осей координат на этот угол в уравнении (10) исчезнет произведение переменных
.
В задании 3 дано уравнение
.
Так как
,
, то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду. Для этого вначале выполним поворот системы координат
на угол
, для которого
; по формулам тригонометрии
,
,
находим
,
,
и записываем по формулам поворота осей координат (3)
,
.
Подставим выражения
и
в данное уравнение, получим
.
Раскроем скобки, приведем подобные члены, получим
.
Выполнив параллельный перенос системы координат, приведем это уравнение к каноническому уравнению гиперболы. Для этого сгруппируем слагаемые с одноименными переменными
,
выделим полные квадраты относительно
,
, или
, или
.
Поместим начало новой системы координат
в точку
, воспользуемся формулами параллельного переноса (2)
,
, или, учитывая координаты нового начала
,
,
, окончательно получим
.(11)
Построим все три системы координат
,
,
, учитывая, что угол поворота системы
![]()
![]()
,
а точка
в системе координат
имеет координаты
. В систему координат
поместим кривую (гиперболу), определяемую уравнением (11).
Рис. 6