Решение задания 3.
Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида
.(9)
Инвариантом
уравнения (9) называют алгебраическое выражение 
, составленное из коэффициентов при
старших членах уравнения (9) 
, которое не изменяется при любом преобразовании координат.
С
помощью инварианта 
определяют принадлежность кривой к определенному типу
: 1) если 
, то уравнение определяет
кривую эллиптического типа ; 2) если 
, то гиперболического типа ; 3) если 
, то параболического типа.
Так
как в уравнении (9) 
, то оси симметрии кривой не параллельны осям координат
. Повернем оси координат так, чтобы
они стали параллельны осям симметрии кривой, для этого воспользуемся формулами
поворота осей координат (3) : 
, 
. Подставим
выражения для 
в уравнение (9),
имеем
.
Раскроем скобки и приведем подобные члены, в новых координатах 
получаем уравнение
,(10)
где
,
,
,
, 
.
Выберем угол 
так, чтобы в новой системе координат оси симметрии были
параллельны осям координат 
, т.е. положим 
, или
.
Так как 
, поэтому 
. После поворота осей координат на этот угол в уравнении (10) исчезнет произведение
переменных 
.
В задании 3 дано уравнение
.
Так как 
, 
,
то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Приведем его к каноническому
виду. Для этого вначале выполним поворот системы координат 
на угол , для которого 
; по формулам тригонометрии
, 
, 
находим
, 
, 
и записываем по формулам поворота осей координат (3)
,
.
Подставим выражения
и 
в данное
уравнение, получим
.
Раскроем скобки, приведем подобные члены, получим
.
Выполнив параллельный перенос системы координат, приведем это уравнение к каноническому уравнению гиперболы. Для этого сгруппируем слагаемые с одноименными переменными
,
выделим полные квадраты относительно 
, 
, или
, или
.
Поместим
начало новой системы координат 
в точку 
, воспользуемся формулами параллельного переноса (2)
, 
, или, учитывая координаты нового начала
,
, 
, окончательно получим
.(11)
Построим все три системы координат , 
, ,
учитывая, что угол поворота системы
,
а точка
в системе координат имеет координаты
. В систему координат
поместим кривую (гиперболу), определяемую уравнением (11).
Рис. 6