Примеры решения и офрмления задач контрольной работы
Неопределенный интеграл
Пример 1. Найти интеграл
.
Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:
.
Первый интеграл является табличным:
.
Во втором интеграле воспользуемся тем, что
.
Получим следующую запись
.
Если представить, что arcsinx=t, то данный интеграл будет интегралом от степени
, но явно переходить к переменной t нет необходимости.
.
Таким образом, для заданного интеграла имеем:
.
Пример 2. Найти интеграл
.
Решение. Как и в примере 1, вычислим дифференциал
.
Числитель подынтегральной дроби
преобразуем тождественно к виду, содержащему
.
Исходя из преобразований, сделанных выше, получаем:
.
Разделив почленно подынтегральную функцию, получим:
Первый интеграл это интеграл вида
.
.
Для того чтобы вычислить второй интеграл, выделим полный квадрат из выражения (
):
Второй инте грал теперь будет иметь следующий вид:
.
С учетом того, что
, этот интеграл табличный.
Таким образом, для заданного интеграла имеем:
.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ПРИМЕР. Функция
является первообразной для
на
, так как для любого
имеем
.
Для одной и той же функции существует бесконечное множество первообразных. Например, для
первообразными на
являются также функции
,
и вообще
, где
– произвольное число, поскольку
для любого
.
Аналогичные рассуждения верны и для первообразной произвольной функции
.
Свойства первообразных описываются легко проверяемыми теоремами.
ТЕОРЕМА 1. Если
– первообразная для функции
на
, то функция
, где
– произвольное число, также является первообразной для
на
.
ТЕОРЕМА 2. Если
и
– произвольные первообразные для
на
, то значение разности этих первообразных в каждой точке есть одно и то же число, т.е.
на
, где
– некоторое число.
Теоремы 1 и 2 показывают, что если функция имеет первообразную
, то множество функций
, где
и
, образует множество всех первообразных для функции
на
.
Для
множество всех первообразных есть множество функций
,
,
.
Многочлен f(x)=3x4 22x3 + 60x2 73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x 2).
Пример . Найти интеграл
. Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.